Mat3 Blatt 4

Gruppe: 7
Maarten Behn, Niklas Borchers, Emre Kilinc

13 Kombinatorik

a)

Die Anzahl der Möglichkeiten, 9 Studierende in drei Gruppen zu je drei aufzuteilen (ohne Beachtung der Reihenfolge der Gruppen), ist:
$\frac{1}{3!}\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=\frac{1}{6}\cdot 84\cdot 20\cdot 1=\frac{1680}{6}=280$

b)

Jede Gruppe soll mindestens zwei und höchstens vier Studierende enthalten.
Alle Permutationen von $(2,3,4)$ ergeben $3!=6$ Möglichkeiten.
Für eine feste Verteilung $(2,3,4)$ berechnen wir:
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=36\cdot 35\cdot 1=1260$ also $6\cdot 1260=7560$

c)

Jede Gruppe soll mindestens eine Person enthalten.
Dies entspricht der Anzahl der surjektiven Aufteilungen der 9 Studierenden auf 3 Gruppen.
Gesamtzahl der Verteilungen auf 3 Gruppen (ununterscheidbar) unter Berücksichtigung der Gruppenzugehörigkeit:
$\text{Stirling-Zahl 2. Art: }S(9,3)=3025$
Und jede Gruppe kann ein Label (Name A, B, C) erhalten:
$3!=6$ $3025\cdot 6=18150$

14 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Wahrscheinlichkeitsraum:

• $\Omega$: Menge aller Permutationen der 40 Pferde auf die 40 Reiter:innen
• $|\Omega |=40!$ \item Gleichverteilung: $P(\omega )=\frac{1}{40!}$ für alle $\omega \in \Omega$

a)

Wahrscheinlichkeit, dass ein:e bestimmte:r Reiter:in (z.B. Reiter:in A aus Deutschland) das eigene Pferd bekommt:
$P=\frac{1}{40}$

b

Wahrscheinlichkeit, dass alle vier deutschen Reiter:innen ihre eigenen Pferde bekommen:
$\frac{(40-4)!}{40!}=\frac{36!}{40!}=\frac{1}{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37}=\frac{1}{2193369600}$

c)

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein:e deutsche:r Reiter:in ein deutsches Pferd bekommt: Genauso ist, wenn 1 - kein deutsches Pferd an deutsche Reiter.
$\text{Anzahl gu¨nstiger Fa¨lle}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{4}\right)\cdot 36!$
$\text{Gesamtzahl Fa¨lle}=40!\Rightarrow P(\text{kein deutsches Pferd an deutsche Reiter})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{4}\right)\cdot 36!}{40!}=\frac{36!\cdot \frac{36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}{24}}{40!}$
Daher: $P(\text{mindestens ein deutsches Pferd an deutsche Reiter})=1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{4}\right)\cdot 36!}{40!}$

15. Poisson- und Binomial-Verteilung

Anzahl der eingereichten Manuskripte: $N\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$
Anzahl der angenommenen Manuskripte: $A\mid N=n\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$ für $N=n$
$\mathbb{P}(N=n)=\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda }}{n!},n\in {\mathbb{N}}_0$
$\mathbb{P}(A=k|N=n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},0\le k\le n$

Zu zeigen:
$\forall k\in {\mathbb{N}}_0:\mathbb{P}(A=k)=\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}{e}^{-p\lambda }$
Beweis:

\begin{align*} \mathbb{P}(A = k) &= \sum_{n = k}^{\infty} \mathbb{P}(A = k \mid N = n) \cdot \mathbb{P}(N = n) \\ &= \sum_{n = k}^{\infty} \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \cdot \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\ &= \sum_{n = k}^{\infty} \frac{n!}{k!(n - k)!} p^k (1 - p)^{n - k} \cdot \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\ &= \frac{p^k \lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \sum_{n = k}^{\infty} \frac{[(1 - p)\lambda]^{n - k}}{(n - k)!} \\ &= \frac{(p\lambda)^k e^{-\lambda}}{k!} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{[(1 - p)\lambda]^m}{m!} \\ &= \frac{(p\lambda)^k}{k!} e^{-\lambda} \cdot e^{(1 - p)\lambda} \\\\ &= \frac{(p\lambda)^k}{k!} e^{-p\lambda}. \end{align*} $$ Quelle: https://www.motapa.de/open/schilling89.pdf (20.05. 21:14) ## 16 Multiple Select-Aufgabe - Kombinationen mit Wiederholung: $\binom{n + k - 1}{k}$ - Kombinationen ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$ - Permutationen mit Wiederholung: $n^k$ - Permutationen ohne Wiederholung: $\frac{n!}{(n - k)!}$ ### a) Wahr, da für $1 \leq k \leq n$ gilt: $\binom{n + k - 1}{k} > \binom{n}{k}$ ### b) Wahr, da für $1 ≤ k ≤ n$ gilt: $\frac{n!}{(n - k)!} \geq \binom{n}{k}$ ### c) Wahr, da für $n, k \geq 1$ gilt: $n^k > \binom{n + k - 1}{k}$ ### d) Falsch, da die Menge an Permutationen mit Wiederholung ist gleich $n^k$ nicht kleiner.