Mat3 Blatt 5

Gruppe: 7
Maarten Behn, Niklas Borchers, Emre Kilinc

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a)

$F_X$ steigt genau an den Stellen sprunghaft an, an denen $X$ Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annimt.

Sprung bei $-2$

$\mathbb{P}\left(X=-2\right)=F_X(-2)-\underset{x\to -2}{\lim }{F}_X(x)=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$​

Sprung bei $-\frac{1}{2}$

$\mathbb{P}\left(X=-\frac{1}{2}\right)=F_X\left(-\frac{1}{2}\right)-\underset{x\to -\frac{1}{2}}{\lim }{F}_X(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

Sprung bei $\frac{3}{7}$

$\mathbb{P}\left(X=\frac{3}{7}\right)=F_X\left(\frac{3}{7}\right)-\underset{x\to \frac{3}{7}}{\lim }{F}_X(x)=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$

Sprung bei $\frac{8}{11}$

$\mathbb{P}\left(X=\frac{8}{11}\right)=F_X\left(\frac{8}{11}\right)-\underset{x\to \frac{8}{11}}{\lim }{F}_X(x)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$

$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=1$

b)

$\mathbb{P}(-1<X\le 1)=\mathbb{P}\left(-\frac{1}{2}\right)+\mathbb{P}\left(-\frac{3}{7}\right)+\mathbb{P}\left(-\frac{8}{11}\right)=\frac{1}{4}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{3}{4}$

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{2}<X\le \frac{8}{11}\right)=\mathbb{P}\left(X=-\frac{1}{2}\right)+\mathbb{P}\left(X=-\frac{3}{7}\right)=\frac{1}{4}+\frac{3}{10}=\frac{11}{20}$

$\mathbb{P}\left(-2<X<\frac{3}{7}\right)=\mathbb{P}\left(X=-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$

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im Intervall $[0,30]$ mit maximal 15 Minuten Zeitunterschied
$A=(t1,t2)\in \Omega :|t1-t2|\le 15$
$\Omega =[0,30]\times [0,30]$

$\mathbb{P}(A)=\frac{30^2-15^2}{30^2}=1-{\left(\frac{15}{30}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

19

a)

# Generiere 10.000 Zufallszahlen aus N(-2, 9)  
# mean: μ = −2             
# sd:   σ^2 = 9 -> σ = 3  
x <- rnorm(10000, mean = -2, sd = 3)    
  
hist(x, breaks = 50, main = "Histogramm von N(-2, 9)", xlab = "Werte", ylab = "Frequenz", col = "skyblue", border = "white")  

b)

$X\sim N(\mu =-2,{\sigma }^2=9)$
$\mathbb{P}(X\le 0)=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{0-(-2)}{3}=\frac{2}{3}$

# Anzahl der Werte ≤ 0  
a <- sum(x <= 0)  
  
# Relative Häufigkeit  
rel <- a / length(x)  
  
# Theoretische Wahrscheinlichkeit  
theo <- pnorm(0, mean = -2, sd = 3)  
  
cat("Relative Häufigkeit (Simulation):", rel, "\n")  
cat("Theoretische Wahrscheinlichkeit :", theo, "\n")  

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a)

Richtig denn,
für stetige Verteilungen ist $F_X$ stetig(Es steht imgrunde in der Aufgabe).

b)

Richtig denn,
allgemein gilt für jede Verteilungsfunktion egal ob die Zufallsvariable stetig, diskret oder gemischt ist, dass $F_X$ monoton nicht fallend ist.

c)

Falsch, denn
auch wenn $X$ stetig verteilt ist, bedeutet das nicht automatisch, dass $F_X$ streng monoton ist. Es gibt stetige Verteilungen, bei denen auf $F_X$ gewissen Intervallen konstant ist Bei Zufallsvariablen, deren Dichte auf einem Teilintervall 0 ist beispielsweise.

d)

Richtig denn,
es existieren $a,b$ mit $F_X(a)=0,F_X(b)=1$ für jede Verteilungsfunktion (mindestens asymptotisch) solche Werte a,b die beliebig nah hinanreichen.