kleiner Gauß

Definition

Für alle $n\in N$ gilt:

$$0+1+2+3+...+n=\sum _{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

Beweis

Wir zeigen die Aussage durch vollständige Induktion über $n$.

Induktionsanfang
$n=0$:
${\sum }_{i=0}^{0}i=\frac{0(0+1)}{2}=0$
Induktionschrintt
Angenommen für $n\ge 0$ gilt:
${\sum }_{i\ge 0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
Zu zeigen ist:
${\sum }_{i\ge 0}^{n+1}i=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$
$\sum _{i=0}^{n+1}i=0+1+2+...+n+(n+1)$
$=\sum _{i=0}^{n}i+(n+1)$

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
$\sum _{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
also
$\sum _{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$
$=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$
$=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$
$=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$