Binominalkoeffizenten

n\\ k \end{matrix}\right) = \frac{n!}{(n-k)!k!}$$ # Definition > Für zwei Zahlen $n,k \in \mathbb{N}$ mit $k \leq n$ ist ein [[Binominalkoeffizenten|Binominalkoeffizent]] $$\left( \begin{matrix} n\\ k \end{matrix} \right)$$ >diffinert durch:

\left(\begin{matrix}
n\
0
\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}
n\
n
\end{matrix}\right)
:= 1

\left(\begin{matrix}
n\
k
\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}
n-1\
k-1
\end{matrix}\right)
+
\left(\begin{matrix}
n-1\
k
\end{matrix}\right)

## Weitere Regeln

\left(\begin{matrix}
n\
1
\end{matrix}\right) = n

\left(\begin{matrix}
n\
2
\end{matrix}\right) = \frac{n(n - 1)}{2}

\left(\begin{matrix}
n\
0
\end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix}
n\
1
\end{matrix}\right) + … +
\left(\begin{matrix}
n\
n
\end{matrix}\right) = 2^{n}

[[Vandermodes identity]] Alternating Sum is = 0 #todo (one of the identities of [[Binominalkoeffizenten|Binominalkoeffizent]] from DisMat) # Satz > Ist $M$ eine endliche [[Menge]] mit $n$ Elementen, dann gilt für jedes $k \in \mathbb{N}$ mit $k \leq n$ : $M$ besitzt genau $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ k-elementige [[Teilmenge|Teilmengen]]. siehe auch: [[Fakultät]] [[Binomischer Lehrsatz]] ## Von [[Discrete Mathematics MOC]] ![[IMG_20251014_113341-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_114229-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_114845-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_115205-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_115806-2-1.jpg|800]]