Eiegenwerte

Eigenwert

Definition

Sei $K$ ein Körper und $V=K^n$ ein Vektorraum über $K$ und $\varphi :V⟶V$ eine lineare Abbildung. Ein Vektor $0\ne v\in V$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$,
falls gilt: $\varphi (v)=\lambda v$

Beispiel

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$ $$v=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$ $$Av=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=2v$$

$v$ ist der Eigenvektor zum Eigenwert $2$

Satz

$det(A-\lambda 1_n)=0$

Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra - YouTube

Link to original

diagonalisierbar

Definition

Eine lineare Abbildung heißt diagonalisierbar,
falls es eine Basis des $K^n$ aus Eigenvektoren von $\varphi$ gibt.

Beispiel

Die Abbildung $\varphi :{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$ mit $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$
ist digonalisierbar da $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ Eigenvektoren von $\varphi$ sind.

Link to original

Satz

Sei $\varphi :K^n⟶K^n$ eine lineare Abbildung mit darstellende Matrix $A$. Dann ist $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $det(A-\lambda 1_n)=0$

Beispiel

Sei $\varphi$ eine lineare Abbildung mit der darstellende Matrix

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ Dann ist $\mathcal{X}_{A}(\lambda) = \lambda^{2} -5 \lambda + 6$ . Die Nullstellen von $\mathcal{X}_{A}$ sind $\lambda_{1} = 2$ $\lambda_{2} = 3$ Dies sind die [[Eigenwert|Eigenwerte]] von $\phi$. Um die [[Eigenwert|Eigenvektoren]] zu finden müssen wir nun das [[Linare Gleichungssysteme|linares Gleichungssystem]] $(A - \lambda \mathbb{1}_{n})x = 0$ für jeden [[Eigenwert]] $\lambda$ von $\phi$ lösen. Für $\lambda_{1} = 2$ erhalten wir das System: $ \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Wir erhalten für $x_2=0$ und $x_1$ dürfen wir beliebig wählen.
Also ist $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\end{array}\right)$ für alle $x_1\in \mathbb{R}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\lambda }_1=2$.

Analog erhalten wir für ${\lambda }_2=3$ den Eigenvektor:

3x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$