Schiefe

Die Schiefe misst, wie asymmetrisch die Verteilung einer Zufallsvariable $X$ um ihren Erwartungswert ist.

$$\begin{array}{rl}v(X)& =\frac{\text{3 te zentrale Moment}}{{\text{Standartabweichung}}^3}\\ & =\frac{{\mu }_3(X)}{SD(X{)}^3}=\frac{{\mu }_3(X)}{Var(X{)}^{\frac{2}{3}}}=\frac{{\mu }_3(X)}{{\mu }_2(X{)}^{\frac{2}{3}}}\\ & =\frac{\mathbb{E}[X^3]-3\mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[X{]}^3}{(\mathbb{E}[X^2]-{\mathbb{E}}^2[X]{)}^{\frac{2}{3}}}\\ & \text{oder}\\ & =\mathbb{E}[X^3]\left(\frac{X-\mathbb{E}[X]}{SD(X)}\right)\end{array}$$

empirischen Verteilung

$$v_e(x)=\frac{n^{-1}{\sum }_i(x_i-\overline{x}{)}^3}{(n^{-1}{\sum }_i(x_i-\overline{x}{)}^2{)}^{3/2}}$$