Linare Gleichungssysteme

Definition

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) aus $m$ Gleichungen und $n$ Unbekanneten $x_1,...,x_n$ hat die Form

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{1} + … + a_{1n}x_{n} = & b_{1} \
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{1} + … + a_{2n}x_{n} = & b_{2} \
\vdots\
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{1} + … + a_{mn}x_{n} = & b_{m} \
\end{split}$$

homogenes LGS wenn $\forall b_i=0$

trvial

triviale Lösung

Definition

Ein homogenes LGS hat immer mindestens eine Lösung:
$x_1=x_2=...=x_n=0$
Dies ist die triviale Lösung.

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Bemerkung

Ein inhomgenes LGS hat entweder:

• Eine Lösung
  ⇒ lösbar
• keine Lösung
  ⇒ nicht lösbar
• unendlich viele Lösungen
  ⇒ x streicht sich raus

Umformen

Umformen eines LGS

Folgende Operationen verändern nicht das Ergebnis des LGS

1. Vertauschen zweier Gleichungen
2. Multiplikation einer Gleichungen mit $r\ne 0$
3. Addition des r-fachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichungen

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erweiterte Koeffizentenmatrix

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}& b_2\\ ⋮& & & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$Link to original

Gaus Algorithmus

i = j = 1  
Gauss(i, j):  
	WENN i = m oder j = n+1+1   
		return   
	WENN a_ij = 0  
		Suche r > i mit a_rj != 0  
		WENN r exists   
			Tausche Zeilen r und i  
		SONST   
			Gauss(i, j+1)  
	Teile i-te Zeile durch a_ij  
	Für alle k > i  
		(Zeile k) - a_kj * (Zeile i)  
	Gauss(i+1, j+1)  

Lösung des linearen Gleichungssystemes (LGS) online

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