Orthogonale Matrizen

Lemma

Sein $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ und $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ Dann gilt:
$⟨x,Ay⟩=⟨A^{t}x,y⟩$

Definition

Eine Matrix $U=(u_1,u_2,...,u_n)$ ist genau dann ortohgonal. wenn die Spalten $u_1,...,u_n$ eine Orthonormalbasis bilden.

Definition

Sei $U\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ Gilt $U^t=U^{-1}$ so heißt $U$ orthogonale Matrix.
Die zugehörige Linare Abbildungen $\varphi (x)=Ux$ heißt orthogonale Transformation

Lemma

$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,U^{t}Uy⟩=⟨x,y⟩$

Lemma

Ist $U$ othogonal so ist auch $U^t$ othogonal.

Bemerkung

Ein inhomgenes LGS hat entweder:

• Eine Lösung
  ⇒ lösbar
• keine Lösung
  ⇒ nicht lösbar
• unendlich viele Lösungen
  ⇒ x streicht sich raus

Link to original

orthogonaler Projektor

Definition

Eine symmetrische Matrix $P$ mit der Eigenschaften $P^2=P$ heißt orthogonaler Projektor.

Link to original