Matrix

Definition

Ein rechteckiges Schema von Elementen $a_{ij}$ aus einem Körper $K$ in $m$ Zeilen und $n$ Spalten der Form

\begin{array}{rcl}
i=1,…,m \
j=1,…,n
\end{array}}

\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \
\end{pmatrix}

## Addition $$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{ \begin{array}{rcl} i=1,...,m \\ j=1,...,n \end{array}}

Multiplikation mit Scalar

$kA=k(a_{ij})=(k{a}_{ij})$

Multiplikation von Matrizen

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right)$$ $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}& ...\\ ...& ...\end{array}\right)$$

transponierte Matrix

Definition

Zu einer $m\times n$ Matrix $A=(a_{ij})$ heißt die $n\times m$ Matrix $A^t=(a_{ji})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$$

symmetrische Matrix

Definition

Eine Matrix heißt symemtrisch wenn:
$A^t=A$

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Einheits Matrix

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$Link to original

Linearegleichungen

$$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

kann man als Matrix schreiben:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$

bzw.

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

Inverse von Matrix

Definition

$A\cdot A^{-1}=1_n$

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Determinate

Bei 2x2 Matrix

$$det(A)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}$$

Bei größer als 2x2 Matrix

Laplace Entwickungssatz

Entwicklung nach der i-ten Zeile

$det(A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij})$

Entwicklung nach der j-ten Spalte

$det(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij})$

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Oder bei 3x3

3x3 Determinanten berechnen | Mathebibel
The determinant | Chapter 6, Essence of linear algebra - YouTube

Satz

• $det(AB)=det(A)\cdot det(B)$
• $det(A)=det(A^t)$
• A ist invertierbar wenn $det(A)\ne 0$
• $(det(A){)}^{-1}=det(A^{-1})$, falls A invertierbar
• Sind die Spalten oder Zeilen linarabhänigig, so gilt $det(A)=0$

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darstellende Matrix

Sei eine lineare Abbildung $f(x)$ und die Matrix $A$
$f(x)=A\cdot x$
Dann ist $A$ die darstellende Matrix von $f(x)$.

umkehrbare Abbildung
verkettung von Darstellenden Matrizen

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symmetrische Matrix

Definition

Eine Matrix heißt symemtrisch wenn:
$A^t=A$

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